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Convolution 的意義

Convolution 的意義

The convolution of f and g is written f∗g, using an asterisk or star. It is defined as the integral of the product of the two functions after one is reversed and shifted. As such, it is a particular kind of integral transform:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(t)&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

隨著不同的 t 值, 對f和g函數相乘的積分(求重疊時的面積)...

• https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution

高斯模糊

常態分配

# 一維的常態分配為, 為一個鐘型分佈曲線, 中間高, 兩旁低

常態分布（normal distribution）又名 高斯分布(Gaussian distribution)

若隨機變數X服從一個位置參數為μ、尺度參數為σ的常態分布，記為：

X~N(μ,σ²)

μ決定中心點位 置, 而其變異數σ²的開平方或標準差σ決定了資料分散的程度。

# 二維的常態分配為一個等高線圖是從中心開始呈常態分布的同心圓。中間點最高而離中間點愈遠值愈低

高斯模糊

高斯模糊的原理它是一種資料平滑技術（data smoothing），它用常態分布計算圖像中每個像素的變換。適用於多個場合，影像處理恰好提供了一個直觀的應用實例。

模糊方法就是讓圖像中的每一個Pixel的值, 變成取其"周圍點"的平均值。若周圍的範圍愈大，則會模糊的程度會愈強。在數值上，這是一種"平滑化"。而在圖形上，就相當於產生"模糊"效果，使原始Pixel失去細節。


如果使用簡單平均，顯然不是很合理，因為圖像都是連續的，越靠近的點關係越密切，越遠離的點關係越疏遠。因此，採用加權平均更合理，距離越近的點權重越大，距離越遠的點權重越小。那分配權重的方式是什麼? 可以採用"常態分配"來配置權重。愈近的pixel 權重愈高，愈遠的pixel 權重愈低。

高斯矩陣

這是一個計算σ = 0.84089642的高斯分布生成的範例矩陣。注意中心元素 (4,4)處有最大值，權重隨著距離中心越遠數值對稱地減小。

0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00038771	0.01330373	0.11098164	0.22508352	0.11098164	0.01330373	0.00038771
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067

注意中心處的0.22508352比3σ外的0.00019117大1177倍。

上述矩陣總和為1,即代表各權重位置的佔比。將原始影像中每一個pixel 乘上此高斯矩陣並加總，即為新的pixel值。

如果是彩色的, 則RGB 3個channel 都做同樣的高斯模糊動作