描述常態分佈的特徵: 偏度與峰度

對於常態分佈(可以Histogram 畫下來) ,除了mu (mean), sigma (variance), 還可以用 Skwness 及kurtosis 來描述, 此亦可以作為特徵。

Skwness: 描述圖形是對稱分佈嗎? 還是左偏分佈 ? 或右偏分佈分佈? 

偏度 $k_3$ 的計算公式：

$$\text{Skewness} = \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^3]}{\sigma^3}$$

• ​如果 k3>  0，分佈為正偏（右偏），資料分佈中有較多的數據點集中在低值區域，而右尾較長，代表有少數較大的數值偏離平均數使得 (X-u)的3次方後正更多.
• 如果 k3 < 0，分佈為負偏（左偏），資料分佈中有較多的數據點集中在高值區域，而左尾較長，代表有少數較小的數值偏離平均數使得 (X-u)的3次方後負更多.

峰度（Kurtosis）決定數值分布的同質性與異質性，越接近高狹峰表示越同質，越趨向低闊峰表示越異質。

峰度 (Kurtosis) 的計算公式是：

Kurtosis

$$\text{Kurtosis} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^4$$${\mathrm{<p><br></p><p\; style="text-align:\; left;"> 標準常態分佈的峰度為\; 3. \; 為<span\; style="text-align:\; center;">使標準常態分佈的峰度為\; 0，故會</span><span\; style="text-align:\; center;">將原始峰度減去\; 3，</span><span\; style="text-align:\; center;">從而更方便地比較其他分佈的峰度。也因此為</span><span\; style="text-align:\; center;">峰度會有負值的原因。</span></p>}}_{}$

 

數據分佈的尾部厚度愈厚，表示有較多異常值(離峰較遠者)，故按公式計算其峰值會較大。

多變量常態分佈 Normal Distribution

Multinormal Distribution (多態性常態分佈)

當K=1 時, 即是單維的常態分佈 f(x)

若 u=0, covariane matrix= I  

當K=2 時, 為雙變數的常態分佈 PDF f(x,y)