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2024年10月8日星期二

描述常態分佈的特徵: 偏度與峰度

對於常態分佈(可以Histogram 畫下來) ,除了mu (mean), sigma (variance), 還可以用 Skwness 及kurtosis 來描述, 此亦可以作為特徵。

Skwness: 描述圖形是對稱分佈嗎? 還是左偏分佈? 或右偏分佈分佈? 指大部份的數值落在平均數的左邊或右邊

正偏態分配(positive skewness):數值較集中在低分部分，即平均數左邊的數值較多，表示考低分的人較多;負偏態分配(negative skewness):其數值較集中在平均數的右邊，表示考高分的人較多

偏度 $k_3$ 的計算公式：

\text{Skewness} = \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^3]}{\sigma^3}

峰度（Kurtosis）決定數值分布的同質性與異質性，越接近高狹峰表示越同質，越趨向低闊峰表示越異質。

峰度 (Kurtosis) 的計算公式是：

Kurtosis

\text{Kurtosis} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^4

標準常態分佈的峰度為 3.  為使標準常態分佈的峰度為 0，故會將原始峰度減去 3，從而更方便地比較其他分佈的峰度。也因此為峰度會有負值的原因。

數據分佈的尾部厚度愈厚，表示有較多異常值(離峰較遠者)，故按公式計算其峰值會較大。

2024年10月5日星期六

多變量常態分佈 Normal Distribution

Multinormal Distribution (多態性常態分佈)

當K=1 時, 即是單維的常態分佈 f(x)

若 u=0, covariane matrix= I

當K=2 時, 為雙變數的常態分佈 PDF f(x,y)

2024年9月25日星期三

觀察資料的趨勢

EDA 中觀察資料的趨勢

針對Time Series Data 通常會觀察原始資料的趨勢(Trend), 季節性/週期性(Seasonality)的狀態或資料中的雜訊.

但這些數據是怎麼取得的呢?

趨勢線: 用原始資料的移動平均值(MA)作為長期走勢的觀察. (移動窗口可以自己設定)
季節性(Seaonality): 原始資料減去趨勢線
雜訊(Residual) : 原始資料減去趨勢線再減去週期性線, 剩下的值認定是噪訊(隨機波動)或短期的變化。

可以自己用Python 完成或者利用 statsmodels 工具來完成。 statsmodels 本身提供許多不同統計模型和統計資料探索的函數。

另外, 也可以計算ACF ( Autocorrelation) , 自相關係數為原始資料 Xt 和 X的lagged Xt+k計算相關係數，ACF 大小可以幫助我們了解數據中週期性的狀態。當lagged 越大 (即K愈大)，ACF 通常會逐漸減少，特別是對於沒有長期相關性的數據而言。

$$\rho_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n} (X_t - \bar{X})(X_{t-k} - \bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t - \bar{X})^2}$$

Note:$ \rho_0=1 $

繪製出ACF圖, 若每隔 $i$ 之後都能看到這個峰值, 則可能存週期 $i$。序列資料可能有存在一個以上的週期，如每週會有一個週期, 而每季也有一個週期。

ACF圖( X軸為不同的lag k, Y軸為ACF值)

底下ACF圖說明序列資料沒有存在週期性.

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具有週期性的資料

seasonal_pattern = 10 * np.sin(2 * np.pi * time / 12)

trend = 0.1 * time

noise = np.random.normal(0, 1, size=100)

data = seasonal_pattern + trend + noise

ACF圖( X軸為不同的lag k, Y軸為ACF值)

底下ACF圖說明序列資料存在一個週期性, 在Lag n*K 處都有差不多的峰值, 表示其週期性為 k

2024年9月21日星期六

A botnet is a network of compromised computers or devices, often referred to as "bots" or "zombies," that are controlled remotely by a malicious actor (known as a "botmaster"). These devices are typically infected with malware, allowing the botmaster to execute various commands on them without the device owner’s knowledge.

Here are some common uses and dangers of botnets:

Distributed Denial of Service (DDoS) Attacks: Botnets are often used to flood a target server or website with traffic, overwhelming it and causing it to crash or become unavailable to users.
Spam Distribution: They can be used to send out massive amounts of spam emails or phishing messages, which can lead to further infections or fraud.
Credential Stuffing: Botnets may attempt to use stolen usernames and passwords on different sites, automating the process to try many combinations quickly.

2024年9月18日星期三

最大概似估計 (MLE) 與 GLL

看到 y1 情況下 , 機率分佈其參數會是 $ \theta_1 $ 的可能性高於$ \theta_2 $.

可能性的意義亦等同於 $ P( y_1 \mid \theta_1 ) > P( y_1 \mid \theta_2 ) $ ,

但如何找到最好的$ \theta $ 使其可能性達到最大，即機率 $ P( y_1 \mid \theta )$ 能達到最大, 此即為最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation) 的目標。

若此機率模型為高斯分佈，即什麼樣的參數 $(\mu, \sigma^2)$ , 能使 $ P(y_1 \mid \mu, \sigma^2)$ 最大.

若你的機器學習模型是預測一個高斯分佈的參數 $(\mu, \sigma^2)$

$$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{ - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} }$$

則你可以將對應答案 $y_1$ 丟入得出其機率，即 $$ f ( y_1 \mid \mu, \sigma^2) $$

若預測的參數夠好的話，則$f(y_1\mid \mu, \sigma^2)$ 應該要很大，若取Log 改以$$X \sim \text{Log-N}(\mu, \sigma^2)$$ 表示，值也會是大的。

$$log(f(y_1\mid \mu, \sigma^2)) = -\frac{1}{2} \log(2\pi) -\frac{1}{2} \log(\sigma^2) - \frac{(y_1 - \mu)^2}{2 \sigma^2}$$

https://www.kaggle.com/competitions/ariel-data-challenge-2024

若預測多組 $(\mu_1, \sigma_1^2), (\mu_2, \sigma_2^2),...,(\mu_n, \sigma_n^2)$

效能可以直接加總 $$f(y_1\mid \mu_1, \sigma_1^2) +f(y_2\mid \mu_2, \sigma_2^2)+...+f(y_n\mid \mu_n, \sigma_n^n)$$ , 或取log 值相加也可以。

$log(f(y_1\mid \mu_1, \sigma_1^2)) +log(f(y_2\mid \mu_2, \sigma_2^2))+...+log(f(y_n\mid \mu_n, \sigma_n^n))$ ---> 這就是 GLL (Gaussian Log Likelihood)

a^2))$$